Solución final del problema

Perímetro= (2 π r) 2+2h

Perímetro= 4π+2h

h=Perímetro - 4πr/2

Área=2πrh

Área=2πr (perímetro - 4πr/2)

Área=2πr perímetro - 8π² r²/2

Área= πr perímetro – 4π² r²

D’Area= π perímetro – 8 π² r                 D’’= -8 π²

                                                                        Máximo en R= Perímetro/8 π

           Perímetro – 8 π² r= 0

           R= π perímetro/ 8 π²

           R= perímetro / 8 π

Área= π perímetro * perímetro / 8 π – 4 π² ((perímetro)/ 8 π) ²

Área= (perímetro) ²/8-4 π² ((perímetro) ²/64 π²)

Área= (perímetro) ²/8- (perímetro) ²/16

Área= (perímetro) ² 1/8 – 1/16 m.c.m= 16

                                    

                                    2/16 – 1/16          

Área= (perímetro) ²/16

Confirmación:

Perímetro= 4 πr +2h => h=período – 4 πr/2

Área= (perímetro) ²/16

R=perímetro/8π => 2=perímetro/8π

Área= (16π) ²/16=256 π²/16

Área=16 π²

16 π=perímetro => perímetro=16 π

h= 16 π-8 π/2

h= 8 π²/2 => h 4 π

Optimización Nº 1

ESTOS SON ALGUNOS EJEMPLOS DADOS DE OPTIMAZACIÓN PARA UNA MAYOR COMPRESIÓN DEL TEMA PROPUESTO Y SU PROBLEMA.

Criterio:1º y 2º Derivada (Máximo, mínimo e inflexión)

Criterio de la primera derivada

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos relativos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c.

Teorema valor máximo y mínimo

"Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue."
1. Si f'(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).
2. Si f'(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)).
3. Si f'(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo. El criterio no decide.

Criterio de la segunda derivada

El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.
Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c, y f'(c) = 0,f(c)debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f'(c) = 0,f(c)debe ser un máximo relativo de f.

Teorema

Sea f una función tal que f'(c) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c

1. Si f''(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).
2. Si f''(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)).

Si f''(c) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en c, un mínimo relativo en (c,f(c)) o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN

Para conocer las coordenadas de los puntos críticos máximos y mínimos relativos en una función, analizaremos dos mecanismos:

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA, UTILIZADO PARA UNA FUNCIÓN CONTINUA Y SU PRIMERA DERIVADA TAMBIÉN CONTINÚA.

• Obtener la primera derivada.
• Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.
El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber máximos o mínimos en la función.
• Se asignan valores próximos (menores y mayores respectivamente) a la variable independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un punto máximo; si pasa de negativo a positivo el punto crítico es mínimo.
Cuando existen dos o más resultados para la variable independiente, debe tener la precaución de utilizar valores cercanos a cada uno y a la vez distante de los demás, a fin de evitar errores al interpretar los resultados.
• sustituir en la función original (Y) el o los valores de la variable independiente (X) para los cuales hubo cambio de signo. Cada una de las parejas de datos así obtenidas, corresponde a las coordenadas de un punto crítico.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Este método es más utilizado que el anterior, aunque no siempre es más sencillo. Se basa en que en un máximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en consecuencia, su derivada será negativa; mientras que en un punto mínimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva.
Este procedimiento consiste en:
• calcular la primera y segunda derivadas
•  igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.
•  sustituir las raíces (el valor o valores de X) de la primera derivada en la segunda derivada.
Si el resultado es positivo, hay mínimo. Si la segunda derivada resulta negativa, hay un máximo.
Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no un máximo o mínimo.
•  sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en la función original, para conocer las coordenadas de los puntos máximo y mínimo.

APLICACIÓN DE MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS

Existen muchos campos del conocimiento (aritmética, geometría, economía, física, biología, industria, etc.) donde se presentan problemas que se resuelven aplicando los conceptos de máximos y mínimos del cálculo diferencial.

Para resolver los problemas a partir de los datos existentes, es importante en primer lugar, encontrar la expresión matemática de la función que represente el problema y cuyos valores máximos o mínimos se desean obtener.

Si la expresión matemática contiene varias variables, deberá plantearse en función de una sola; las condiciones del problema deben aportar suficientes relaciones entre las variables, para poderse expresar a todas ellas en función de una sola variable independiente.

Una vez que se tenga la función en la forma Y=f(X), se aplican las normas ya estudiadas.
En muchos problemas prácticos resulta muy sencillo identificar cuales valores críticos dan máximos o mínimos; y en consecuencia, ya no será necesario aplicar el procedimiento completo.

Es conveniente construir la grafica que represente la función en cuestión, a fin de verificar los resultados obtenidos.

Punto de inflexión

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.
En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.

Cálculo de los puntos de inflexión en funciones reales derivables de variable real

En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función a cero y despejar. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en la derivada tercera o sucesivas hasta que nos dé un valor diferente de cero. Cuando esto suceda, si la derivada para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivada par, no lo es. Más concretamente:

1. Si la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión.
2. Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexión.

La ecuación f(x) = x4 + 2x no tiene puntos de inflexión, porque la derivada segunda es siempre igual a cero, por tanto no hay cambio de concavidad. Sin embargo en x0 = 0 la derivada segunda se anula y la primera derivada no nula en x0 = 0 es la derivada cuarta, que es positiva. Obsérvese que f tampoco presenta un extremo en x0.

Derivada: Primeros Teoremas.

Derivada de una función constante

 

Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),

 

                                             f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

 

 

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

 

 

 

Derivada de un producto de funciones

 

Sean f y g dos funciones definidas y derivables en un mismo punto x.

 

            

 Si se suma y se resta en el numerador f(x) · g(x + h), la fracción anterior no varía,

 

          

 Sacando g(x + h) factor común en los dos primeros sumandos, y f(x) en los otros dos,

 

                 

                           

Derivadas de las funciones exponenciales a^x y e^x

 

Sea la función y = a^x, siendo a una constante positiva distinta de 1. La derivada de esta función en un punto x es:

  

        y se toman logaritmos neperianos:

 

                          

 

         Derivada de un cociente de funciones

 

Considérense, como en los casos precedentes, dos funciones f y g definidas y derivables en un punto x. Además, en este caso, se tiene que imponer la condición de que la función g no se anule en x.

  

      

Si en la segunda fracción se suma y se resta al numerador f(x) · g(x), se obtiene:

 

      

Sacando factor común g(x) en los dos primeros sumandos de la segunda fracción, y f(x) en los dos últimos,

 

Por último, se toman límites cuando h tiende a cero notando que: 

         Derivada de la raíz

Veamos pues como calculamos la derivada de una raíz utilizando la definición de derivada.

Para poder resolver la indeterminación del límite debemos racionalizar. (Recordar que hay que cambiar el signo) Por lo que al hacer distributiva nos queda una diferencia de cuadrado (esta operación deberán hacerla ustedes para ver que las raíces quedan con signos contrarios y pueden cancelarse)

Si: 

Derivación en Cadena

 

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,

 

                                            

 

y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,

 

                                          

 

entonces la función compuesta

 

                                    

 

definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene

 

Derivación ímplicita