Derivada: Primeros Teoremas.

Derivada de una función constante

 

Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),

 

                                             f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

 

 

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

 

 

 

Derivada de un producto de funciones

 

Sean f y g dos funciones definidas y derivables en un mismo punto x.

 

            

 Si se suma y se resta en el numerador f(x) · g(x + h), la fracción anterior no varía,

 

          

 Sacando g(x + h) factor común en los dos primeros sumandos, y f(x) en los otros dos,

 

                 

                           

Derivadas de las funciones exponenciales a^x y e^x

 

Sea la función y = a^x, siendo a una constante positiva distinta de 1. La derivada de esta función en un punto x es:

  

        y se toman logaritmos neperianos:

 

                          

 

         Derivada de un cociente de funciones

 

Considérense, como en los casos precedentes, dos funciones f y g definidas y derivables en un punto x. Además, en este caso, se tiene que imponer la condición de que la función g no se anule en x.

  

      

Si en la segunda fracción se suma y se resta al numerador f(x) · g(x), se obtiene:

 

      

Sacando factor común g(x) en los dos primeros sumandos de la segunda fracción, y f(x) en los dos últimos,

 

Por último, se toman límites cuando h tiende a cero notando que: 

         Derivada de la raíz

Veamos pues como calculamos la derivada de una raíz utilizando la definición de derivada.

Para poder resolver la indeterminación del límite debemos racionalizar. (Recordar que hay que cambiar el signo) Por lo que al hacer distributiva nos queda una diferencia de cuadrado (esta operación deberán hacerla ustedes para ver que las raíces quedan con signos contrarios y pueden cancelarse)

Si: 

Derivación en Cadena

 

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,

 

                                            

 

y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,

 

                                          

 

entonces la función compuesta

 

                                    

 

definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene

 

Derivación ímplicita